Introduction

 

Les Fractales

- Définition

- Images

 

Mathématiques

- Fractal

- Logiciels

 

SVT

- Naturels Fractals

- Exemples

 

 

  Conclusion

 

Remerciements

- Professeurs

- Autres

 

Liens

- Sites Fractals

- Autres TPE

 




   

 

 

 

 

Introduction :

-Les fractales sont présent partout sans que l’on s’en rende compte. En effet les fractales sont représenté naturellement par les reliefs, les plantes, les flocons…L’organisation ou la forme reste en permanence la même quelque soit l’échelle.

Par opposition aux fractales déterministes, il existe des fractales liées au hasard ou à des phénomènes aléatoires. C'est le cas des objets fractals de la nature, dans lesquels le hasard intervient. Ces fractales fabriquées par le hasard ont permis de mieux comprendre certains phénomènes, comme les uctuations des cours de la Bourse, la structure des polymères ou encore le fonctionnement des poumons (comme nous les verons dans les exemples).

I L'exemple du corps humain :


Dans de nombreux processus biologiques, il y a transfert de flux de matière d'un milieu vers un autre, via une surface de séparation. On peur prendre comme exemple les poumons ( échange d'O2 entre air et sang) mais on pourrait aussi bien étudier l'échange de nutriment dans l'intestin au travers de la parois intestinale etc …
La surface d'échange est estimée a 140 m² (soit un carré de 12m de coté). Ainsi, les poumons forment un double réseau vaisseaux / bronches où le contacte entre 02 et sang a lieu.

L'artère se divise selon le schéma suivant :

                  


Structure imaginée par Mandelbrot pour les bronches


L'artère principale se divise en 2, puis les artères suivantes en 2 et ce 23 fois. On obtient au final environ 223 soit 8 000 000 d'artérioles. Cette courbe est celle qui représente le mieux la structure des poumons car tous les point terminaux sont a la même distance de l'origine et pour que l'échange soit maximal, il faut utiliser le volume de la cage thoracique de façon optimale.
Les alvéoles ont un diamètre l=0.2mm. Pour les calcules nous utiliserons un cube de coté l pour représenter une alvéole Sur ce cube 5 faces seront allouées a la surface d'échange tandis que la dernière face ne sera pas utilisable car il faut que l'air pénètre dans l'alvéole. On obtient donc une surface d'échange par alvéole de 5(02)² soit 2.10-3 cm². D'après les recherches on sait qu'il y a environ 2.10+16 acinus (soit 60 000). On peut alors calculer la surface de chaque acinus : 140/60 000=25cm² ou encore son volume sachant que la capacité pulmonaire d'un homme est d'environ 5 litres : 5/60 000 soit 0.1cm². On obtient donc pour un acinus un taille L d'environ 5mm. Pour chaque acinus, on empile les alvéoles sur une fractale de dimension D et obtenir une surface totale par acinus d'environ 25cm². Nous pouvons alors calculer la dimension fractale. La formule est

D=ln n/ln (L/l)

Ce qui donne ici :

(L/l)= 5mm/0.2mm

n est le nombre de petit cubes de surface 2.10-3 cm² tel que la surface par acinus soit de 25cm² :

25/2.10-3 cm² = 12500

On obtient donc :

D=ln 12500/ln 25 soit environ 2.93.

En arrondissant on trouve donc que la dimension de la courbe est de 3 et non de 2. C'est un exemple de surface remplissant l'espace.

                                    

Moulage d'un poumon humain : artères en rouge, veines en bleu et bronches en blanc.

 

 

Un autre exemple, celui du réseau vasculaire est dispinoble au téléchargement en cliquant sur le bouton ci-après :

 



 

 

Webmaster : Aurélien Courant