-Les fractales sont présent
partout sans que lon sen rende compte. En effet les
fractales sont représenté naturellement par les
reliefs, les plantes, les flocons Lorganisation ou
la forme reste en permanence la même quelque soit léchelle.
Par opposition aux fractales
déterministes, il existe des fractales liées au
hasard ou à des phénomènes aléatoires.
C'est le cas des objets fractals de la nature, dans lesquels le
hasard intervient. Ces fractales fabriquées par le hasard
ont permis de mieux comprendre certains phénomènes,
comme les uctuations des cours de la Bourse, la structure des
polymères ou encore le fonctionnement des poumons (comme
nous les verons dans les exemples).
I L'exemple du corps humain :
Dans de nombreux processus biologiques, il y a transfert de flux
de matière d'un milieu vers un autre, via une surface de
séparation. On peur prendre comme exemple les poumons (
échange d'O2 entre air et sang) mais on pourrait aussi
bien étudier l'échange de nutriment dans l'intestin
au travers de la parois intestinale etc
La surface d'échange est estimée a 140 m² (soit
un carré de 12m de coté). Ainsi, les poumons forment
un double réseau vaisseaux / bronches où le contacte
entre 02 et sang a lieu.
L'artère se divise
selon le schéma suivant :
Structure imaginée par Mandelbrot pour les bronches
L'artère principale se divise en 2, puis les artères
suivantes en 2 et ce 23 fois. On obtient au final environ 223 soit
8 000 000 d'artérioles. Cette courbe est celle qui représente
le mieux la structure des poumons car tous les point terminaux sont
a la même distance de l'origine et pour que l'échange
soit maximal, il faut utiliser le volume de la cage thoracique de
façon optimale.
Les alvéoles ont un diamètre l=0.2mm. Pour les calcules
nous utiliserons un cube de coté l pour représenter
une alvéole Sur ce cube 5 faces seront allouées a
la surface d'échange tandis que la dernière face ne
sera pas utilisable car il faut que l'air pénètre
dans l'alvéole. On obtient donc une surface d'échange
par alvéole de 5(02)² soit 2.10-3 cm². D'après
les recherches on sait qu'il y a environ 2.10+16 acinus (soit 60 000).
On peut alors calculer la surface de chaque acinus : 140/60 000=25cm²
ou encore son volume sachant que la capacité pulmonaire d'un
homme est d'environ 5 litres : 5/60 000 soit 0.1cm². On obtient
donc pour un acinus un taille L d'environ 5mm. Pour chaque acinus,
on empile les alvéoles sur une fractale de dimension D et
obtenir une surface totale par acinus d'environ 25cm². Nous
pouvons alors calculer la dimension fractale. La formule est
D=ln n/ln (L/l)
Ce qui donne ici :
(L/l)= 5mm/0.2mm
n est le nombre de petit cubes de surface
2.10-3 cm² tel que la surface par acinus soit de 25cm²
:
25/2.10-3 cm² = 12500
On obtient donc :
D=ln 12500/ln 25 soit environ 2.93.
En arrondissant on trouve donc que la dimension
de la courbe est de 3 et non de 2. C'est un exemple de surface remplissant
l'espace.
Moulage d'un poumon humain
: artères en rouge, veines en bleu et bronches en blanc.
Un autre exemple, celui du
réseau vasculaire est dispinoble au téléchargement
en cliquant sur le bouton ci-après :